Konsekwentna wycena i zabezpieczenie kursów walutowych

Konsekwentna wycena i zabezpieczenie portfela opcji walutowych Transkrypcja 1 Konsekwentne ustalanie cen i zabezpieczanie portfela opcji walutowych L. Bisesti, A. Castagna i F. Mercurio 1 Wprowadzenie W walutach obcych (FX) opcje rynkowe umożliwiają korzystanie z opcji "od pieniądza" są dość aktywnie przedmiotem obrotu, a wyceny tego samego rodzaju instrumentów są dostępne codziennie z bardzo wąskimi spreadami (przynajmniej dla głównych walut). Pozwala to na opracowanie procedury ekstrapolacji implikowanych zmienności niecnansowanych opcji, dostarczając nam wiarygodnych danych, do których można skalibrować jedną z ulubionych alternatyw dla modelu Black i Scholesa (1973) (BS). Brigo, Mercurio i Rapisarda (2004) zaproponowali rozszerzenie do modelu BS, w którym zarówno zmienność, jak i stopy procentowe są stochastyczne w bardzo prosty sposób. W modelu tym, przy niepewnej zmienności i niepewnych stopach procentowych (UVUR), bazowy składnik aktywów ewoluuje jako geometryczny ruch Browna ze współczynnikami zależnymi od czasu, które nie są znane na początku i których wartość jest losowo narysowana w nieskończenie długiej przyszłości. Jak podkreślają autorzy, model UVUR może pomieścić bardzo ogólne powierzchnie zmienności, a w przypadku rynku opcji walutowych można osiągnąć idealne dopasowanie do głównych notowań zmienności. W tym artykule testujemy dobroć tego modelu, jeśli chodzi o pewne podstawowe praktyczne implikacje. Po pierwsze, sami pokazujemy dopasowanie modelu do modelu na podstawie rzeczywistych danych rynkowych. Następnie wspieramy dobroć naszej kalibracji, zapewniając diagnostykę przyszłych zmienności implikowanych przez model. Porównujemy również ceny modeli niektórych opcji egzotycznych z odpowiednimi danymi podawanymi przez praktykę rynkową. Na koniec pokazujemy, jak czerpać wrażliwość z lukami na zmienność i jak odpowiednio zabezpieczać typową książkę opcji. Artykuł jest zorganizowany w następujący sposób. Rozdział 2 zawiera krótki opis rynku opcji walutowych i jego zmienności. Sekcja 3 przedstawia model UVUR i opisuje jego analityczną zdolność do krępowania. Rozdział 4 dotyczy przykładu kalibracji do rzeczywistych danych rynkowych. Sekcja 5 ilustruje powierzchnię zmienności w przód i niektóre krzywe lotności do przodu implikowane przez wcześniej skalibrowane parametry. Sekcja 6 dotyczy kwestii wyceny produktów i rozwoju działalności oraz opcji walutowych, Banca IMI, Corso Matteotti, 6, 20171, Mediolan, Włochy. Jesteśmy wdzięczni Aleardo Adottiemu, szefowi działu rozwoju produktu i rozwoju biznesu w Banca IMI, za nieustanne wsparcie i wsparcie oraz za pomocnych rozmów dla Francesca Rapisardy i Micol Ghisoniego. 1 2 egzotyczne opcje. W Rozdziale 7 rozważono wyraźny przykład zabezpieczenia zmienności zastosowanego do danej księgi opcji. Sekcja 8 kończy artykuł. 2 Krótki opis rynku opcji walutowych Stylizowany fakt na rynku walutowym polega na tym, że opcje są kwotowane w zależności od ich wartości delta, a nie ich wartości, jak na innych rynkach opcji. Zasadniczo odzwierciedla to lepką regułę delty, zgodnie z którą implikowane zmienności nie zmieniają się z dnia na dzień, jeśli pokrewna wartość pozostaje taka sama. Innymi słowy, gdy kurs wymiany ulega przesunięciu, a delta opcji zmienia się odpowiednio, inną implikowaną zmienność należy następnie podłączyć do odpowiedniej formuły Black i Scholes (1973). Rynek opcji walutowych charakteryzuje się trzema zmiennymi notowaniami do stosunkowo długich terminów (przynajmniej dla kursu EURUSD): i) at-the-money (ATM), ii) odwrócenie ryzyka (RR) dla 25 call i put, iii) motyl (vega-ważony) (VWB) z 25 skrzydłami. 1 Na podstawie tych kwotowań rynkowych można łatwo wywnioskować implikowane zmienności dla 25 wywołań i umieścić, a następnie zbudować na nich cały uśmiech dla zakresu od 5 do 5 połączeń. Rynek cytuje Oznaczamy przez S (t) wartość danego kursu walutowego, powiedzmy EURUSD, w czasie t. Ustawiamy S 0: S (0) gt 0 i oznaczamy odpowiednio przez P d (0, t) i P f (0, t) krajowe i zagraniczne współczynniki dyskontowe dla zapadalności t. Następnie rozpatrujemy dojrzałość rynkową T. Delta w czasie 0 europejskiego wywołania ze strajkiem K, terminem zapadalności T i sigma zmienności określona jest przez (ln S 0 P f (0, T) P f KP (0, T) Phi) 1 d (0, T) 2 sigma2 T sigma, T gdzie Phi oznacza standardową funkcję rozkładu normalnego. 3 Cytaty rynkowe dotyczące terminu zapadalności T definiuje się następująco. Zmienność bankomatu polega na zerowej straddle, której strajk, dla każdego określonego wygaśnięcia, jest wybrany tak, aby powiązany put i call były takie same, ale z różnymi znakami. Oznaczając sigma AT M zmienność ATM dla czasu wygaśnięcia T, można natychmiast uzyskać uderzenie ATM K AT M: P f (0, T) K AT MS 0 P d (0, T) e 1 2 sigma2 AT MT (1 ) RR to struktura, w której kupuje się połączenie i sprzedaje zestaw z symetryczną Delta. RR jest cytowany jako różnica pomiędzy dwiema implikowanymi zmiennościami, sigma 25 c i sigma 25 p 1 Zgodnie ze żargonem rynkowym, opuszczamy znak po poziomie Delta, tak aby 25 było to połączenie, którego Delta jest analogicznie , 25 put to taki, którego Delta to Uwaga, że ​​wywołanie ax jest równoznaczne z put (P f (0, T) x), z P f zdefiniowanym poniżej. 3 Zauważ, że tę deltę można interpretować jako zdyskredytowane prawdopodobieństwo zakończenia w pieniądzu w ramach miary związanej z numeremire S (t) P f (0, t). 2 3, aby dołączyć do formuły Black and Scholes dla połączenia i put odpowiednio. Oznaczając taką cenę, w znaczeniu zmienności, przez sigma RR, mamy: sigma RR sigma 25 c sigma 25 p (2) VWB buduje się sprzedając pewną ilość przegrody ATM i kupując 25 sztuk dławika, w takim sposób wynikowa struktura ma zero Vega. Cena motyla w warunkach zmienności, sigma VWB, jest następnie określana przez: sigma VWB sigma 25 c sigma 25 p 2 sigma AT M (3) Dla danej daty ważności T dwie zmienności implikowane sigma 25 c i sigma 25 p mogą być natychmiast zidentyfikowane przez rozwiązanie układu liniowego. Otrzymujemy: sigma 25 c sigma AT M sigma VWB sigma RR (4) sigma 25 p sigma AT M sigma VWB 1 2 sigma RR (5) Dwa uderzenia odpowiadające 25 put i 25 call można wyprowadzić, po prostej algebrze, z ich definicji: P f (0, T) K 25 p S 0 P d (0, T) e alphasigma 25 p T sigma2 25 p T (6) P f (0, T) K 25 c S 0 P d ( 0, T) ealphasigma 25 c T sigma2 25 c T gdzie alfa: Phi 1 (1 4 P f (0, T)) i Phi 1 jest odwrotną funkcją rozkładu normalnego. Podkreślamy, że dla typowych parametrów rynkowych i dla terminów zapadalności do dwóch lat, alfa gt 0 i K 25 p lt K AT M lt K 25 c Począwszy od implikowanych zmienności sigma 25 p, sigma 25 c i sigma AT M oraz strajki, można wreszcie zbudować cały implikowany implikowany uśmiech na wygaśnięcie T. Konsekwentna procedura budowy została podana, na przykład, w Castagna i Mercurio (2004). Przykład kwotowań zmienności rynku podano w Tabeli 1, a związaną z nim zmienną zmienności pokazano na rysunku 1. 3 Model UVUR Zakładamy, że dynamika kursu walutowego ewoluuje zgodnie z niepewnym modelem zmienności z niepewnymi stopami procentowymi zaproponowanymi przez Brigo, Mercurio i Rapisarda (2004). W tym modelu kurs wymiany w ramach miary neutralnej dla ryzyka krajowego następuje po 4, gdzie rd (t) i rf (t) oznaczają odpowiednio krajowe i zagraniczne stawki forwardowe dla terminu zapadalności t, sigma 0 i epsilon są stałymi dodatnimi, W jest standardowy ruch Browna, i (rho d, rho f, sigma) jest losowym trypletem, który jest niezależny od W i przyjmuje wartości w zbiorze N (danych) tripletów deterministycznych funkcji: (r1 (t), drf 1 (t ), sigma 1 (t)) z prawdopodobieństwem lambda 1 (r2 (t), drf (rho d (t), rho f 2 (t), sigma 2 (t)) z prawdopodobieństwem lambda 2 (t), sigma (t )). (rn d (t), rf N (t), sigma N (t)) z prawdopodobieństwem lambda N, gdzie lambda i są ściśle dodatnie i sumują się do jednego. Losowa wartość (rho d, rho f, sigma) jest narysowana w czasie t epsilon. Intuicja za modelem UVUR jest następująca. Proces kursu walutowego to nic innego jak geometryczny ruch Browna BS, w którym zmienność aktywów oraz stopy ryzyka (krajowe i zagraniczne) są nieznane, a jedna zakłada różne (wspólne) scenariusze dla nich. Niepewność zmienności dotyczy nieskończenie małego początkowego przedziału czasowego o długości epsilon, na końcu którego wyznaczane są przyszłe wartości zmienności i stóp. Dlatego S ewoluuje, na czas nieskończony, jako geometryczny ruch Browna o stałej zmienności sigma 0, a następnie jako geometryczny ruch Browna z deterministyczną zmiennością dryftu ri d (t) rfi (t) i deterministyczną zmiennością sigma i (t) rysowane w czasie epsilon. W tym modelu obie stopy procentowe i zmienność są stochastyczne w najprostszy z możliwych sposobów. Jak już zauważyli Brigo, Mercurio i Rapisarda (2004), niepewność w zmienności jest sama w sobie wystarczająca, aby pomieścić domniemane uśmiechy zmienności (sigma RR bliska zeru), podczas gdy niepewność stóp procentowych musi być wprowadzona, aby uchwycić efekty skośne (sigma RR daleko od zera). Ustawienie micro i (t): ri d (t) rfi (t) dla t gt epsilon, micro i (t): rd (t) rf (t) i sigma i (t) sigma 0 dla t0, epsilon i każdego i, i tt M i (t): micro i (y) ds, V i (t): sigmai 2 (s) ds i1 0 mamy, że gęstość S w czasie t gt epsilon jest następującą mieszaniną logormalnych gęstości : 2 M i (t) SV i 2 (t). (8) 0 W związku z tym europejskie ceny opcji są mieszaninami cen BS. Na przykład cena wolna od arbitrażu europejskiego połączenia z kursem K i dojrzałością T wynosi (NP d (0, T) lambda i S 0 e M i (t ln S 0) Phi MK i (t) 1 V) (2 2 i ( T) ln S 0 KPhi MKi (t) 1V) 2 i 2 (T). V i1 i (T) V i (T) (9) 4 0 5 Dalsze szczegóły można znaleźć w Brigo, Mercurio i Rapisarda (2004). Wytrzymałość analityczna w początkowym okresie jest rozszerzona na wszystkie te instrumenty pochodne, które można wyraźnie wycenić zgodnie z paradygmatem BS. Faktycznie, oczekiwania funkcjonałów procesu (7) można obliczyć warunkując możliwe wartości (rho d, rho f, sigma), przyjmując w ten sposób oczekiwania funkcjonałów geometrycznego ruchu Browna. Oznaczając E oczekiwaniem w ramach środka neutralnego pod względem ryzyka, każdy płynny VT w czasie T ma cenę braku arbitrażu w czasie t 0 podaną przez V 0 P d (0, T) N i 1 lambda i EVT (rho d ri d , rho frfi, sigma sigma i) N i1 lambda i V BS 0 (rdi, rfi, sigma i) (10) gdzie V BS 0 (ri d, rfi, sigma i) oznacza cenę instrumentu pochodnego w modelu BS, gdy stopy wolne od ryzyka to ri d i rfi, a zmienność aktywów (zależna od czasu) to sigma. Zalety modelu (7) można podsumować w następujący sposób: i) wyraźna dynamika ii) wyraźna gęstość marginalna za każdym razem (mieszanina logormorm z różnymi średnimi i standardowymi odchyleniami) iii) wyraźne ceny opcji (mieszaniny cen BS) i więcej ogólnie, jawne formuły pochodnych w stylu europejskim w początkowym okresie iv) wyraźne gęstości przejścia, a zatem przyszłe ceny opcji, v) wyraźne (przybliżone) ceny opcji barierowych i innych egzotyków 4 vi) potencjalnie doskonale pasujące do każdego (w kształcie uśmiechu lub skośne) implikowane krzywe lub powierzchnie lotności. 4 Przykład kalibracji Uwzględniamy przykład kalibracji danych rynkowych EURUSD od 12 lutego 2004 r., Kiedy kurs spot był w tabeli 1, podajemy rynkowe kwotowania EURUSD sigma AT M, sigma RR i sigma VWB dla odpowiednich terminów zapadalności od jednego tygodnia (1 W) do dwóch lat (2Y), natomiast w Tabeli 2 przedstawiamy odpowiednie krajowe i zagraniczne współczynniki dyskontowe. Implikowaną powierzchnię zmienności zbudowaną z podstawowych kwotowań zmienności pokazano w Tabeli 3, dla głównych delt, a na rysunku 1, dla jasności wykreślamy implikowaną zmienność pod względem wartości Deltas put od 5 do 95 i dla takie same terminy zapadalności jak w tabeli 1. Aby dokładnie dopasować zarówno krajowe, jak i zagraniczne krzywe zerokuponowe w początkowej fazie 4 Przykładowo, formuła zamknięta dla ceny wezwania do góry i na zewnątrz w modelu UVUR została opisana w Załączniku A. 5 6 sigma AT M sigma RR sigma VWB 1W 11,75 0,50 0,190 2 W 11,60 0,50 0,190 1M 11,50 0,60 0,190 2 M 11,25 0,60 0,210 3 M 11,00 0,60 0,220 6 M 10,87 0,65 0,235 9 M 10,83 0,69 0,235 1 Y 10,80 0,70 0,240 2Y 10,70 0,65 0,25 Tabela 1: Wycena zmienności EURUSD na dzień 12 lutego T (w latach) Pd (0, T) P f (0, T) 1 W WMMMMMRR Tabela 2: Krajowe i zagraniczne współczynniki dyskonta dla odpowiednich terminów zapadalności. czas, obowiązują następujące ograniczenia arbitrażowe dla każdego t: 5 N i1 N i1 lambda tj. Rt 0 rd i (u) du P d (0, t) lambda czyli Rt 0 rf i (u) du P f ( 0, t) (11) Nasza kalibracja jest następnie wykonywana poprzez minimalizowanie sumy kwadratowych różnic procentowych między modelem a zmiennością rynkową 25 zakładów, zakładów ATM i 25 połączeń, przy jednoczesnym przestrzeganiu ograniczenia (11). Biorąc pod uwagę, że epsilon jest arbitralnie mały, rozważaliśmy przypadek graniczny epsilon 0 przy obliczaniu cen opcji (9). 6 5 Możemy bezpiecznie stosować te same zasady dla krajowych i zagranicznych środków neutralnych pod względem ryzyka, ponieważ takie prawdopodobieństwa nie zmieniają się przy zmianie miary ze względu na niezależność między W i (rho d, rho f, sigma). 6 Zauważamy, że ustawienie epsilon 0, sigma 0 nie jest już parametrem optymalizacji. 6 7 10 p 25 p 35 p ATM 35 c 25 c 10 c 1 W 11,96 11,69 11,67 11,75 11,94 12,19 12,93 2 W 11,81 11,54 11,52 11,90, 11,39 12,04 12,78 11,46 11,52 11,60 11,79 12,04 12,78 11,0 11, 11 11,39 11,39 11,50 11,72 11,99 12,77 2 M 11,43 11,16 11,15 11,25 11,48 11,76 12,60 3 M 11,22 10,92 10,90 11,00 11,23 11,12 12,39 6,00 11,12 10,39 10,76 10,87 11,12 11,43 11,39 10,39 10,39 10,10 10,83 11,09 11,41 12,39 1Y 11,00 10,69 10,68 10,9,10, 11,39 12,38 2Y 11,0 10,63 10,60 10,70 10,94 11,28 12,34 Tabela 3: Kursy zmienności EURUSD od 12 lutego 2008 r. pod względem stopni swobody, ustawiliśmy N 2 i założyliśmy, że rytm krajowy jest deterministyczny i równy rd, tak że pierwsze ograniczenie w (11) jest automatycznie spełnione. W rzeczywistości, pozostawanie przy tylko dwóch scenariuszach i przyjmowanie niepewności tylko w sigma zmienności aktywów i stopy procentowej zagranicznej jest wystarczające, w rozważanym przypadku, a także w wielu innych, do uzyskania doskonałej kalibracji do trzech głównych wartości zmienności dla wszystkich terminów zapadalności jednocześnie . Aby przyspieszyć procedurę kalibracji, odwołaliśmy się do nieparametrycznego oszacowania funkcji rho f i sigma, przyjmując, że r f i sigma i, 1, 2, są stałe w każdym przedziale określonym przez kolejne rynkowe terminy zapadalności. W ten sposób moglibyśmy zastosować procedurę iteratywną i skalibrować jedną krzywą implikowanej zmienności w czasie, począwszy od pierwszej dojrzałości aż do ostatniej. Dokładnie ustawiamy t 0: 0, t 1: 1W, t 2: 2W, t 3: 1M, t 4: 2M, t 5: 3M, t 6: 6M, t 7: 9M, t 8: 1Y, t 9: 2Y i oznaczane przez rfi, j i sigma i, j przyjmowane są wartości stałe, odpowiednio, przez rfi i sigma i, i 1, 2, w przedziałach tj 1, tj) j 1. 9. Przy każdym okresie dojrzałości tj , następnie zoptymalizowaliśmy dla rf 1, j, sigma 1, j i sigma 2, j, które są jedynymi swobodnymi parametrami na j-tym etapie występującym we wzorze (9), biorąc pod uwagę, że wyrażamy rf 2, j jako funkcję z rf 1, j przy drugim ograniczeniu w (11), a także z poprzednio uzyskanymi wartościami r1,1, f. r f 1, j 1, sigma 1,1. r f 1, j 1 i sigma 2,1. rf 1, j 1. Idealne dopasowanie do trzech głównych zmienności dla każdej dojrzałości jest prawdziwe dla wielu różnych specyfikacji parametru prawdopodobieństwa lambda 1. Następnie wybraliśmy optymalną lambdę 1 przez kalibrację całej macierzy implikowanej zmienności w Tabeli 3, pod ograniczeniem że trzy główne cytaty są dokładnie odtworzone. Uzyskaliśmy lambdę 1 Wartości innych parametrów modelu pokazano w Tabeli 4. W Tabeli 5 pokazujemy błędy kalibracji w wartościach bezwzględnych: model idealnie pasuje do trzech głównych zmienności dla każdego okresu dojrzałości i sprawdza się całkiem dobrze na prawie każdym poziomie Delta. Występ lekko degeneruje się dla ekstremalnych skrzydeł. Największy błąd jest jednak do przyjęcia, biorąc pod uwagę, że rynkowe stawki kupna-sprzedaży są zwykle wyższe. Idealna kalibracja do podstawowych wycen zmienności jest niezbędna do załamania Vega wzdłuż wymiaru strajku i dojrzałości. Jest to niezwykle pomocne dla handlowców, ponieważ 7 8 Delta Maturity Rysunek 1: Zmienność implikowana EURUSD (w punktach procentowych) na dzień 12 lutego pozwala im zrozumieć, gdzie skoncentrowane jest ryzyko zmienności. Możliwość takiej awarii Vega jest oczywistą zaletą modelu UVUR. Ogólnie rzecz biorąc, obliczanie wrażliwości na fałszowanie nie jest ani proste, ani nawet możliwe, kiedy wychodzimy ze świata BS. W rzeczywistości, klasyczne i powszechnie stosowane modele zmienności stochastycznej, takie jak modele Hulla i White'a (1987) czy Heston (1993), nie mogą wytwarzać wrażliwości na zarysowania. Przedsiębiorca jest zwykle zmuszony do uciekania się do niebezpiecznego i nienaturalnego zabezpieczenia parametrów lub do ogólnego zabezpieczenia Vega opartego na równoległym przesunięciu implikowanej powierzchni lotności. W rozdziale 7 pokażemy, jak obliczyć podział Vega i odpowiednio, jak zabezpieczyć księgę egzotycznych opcji w kategoriach instrumentów czysto waniliowych. 5 Powierzchnie lotności w przód Jakość kalibracji na dane implikowanej zmienności jest zwykle niewystarczającym kryterium oceny dobroci alternatywy dla modelu BS. W rzeczywistości przedsiębiorca jest również zainteresowany ewolucją przyszłych powierzchni zmienności, które prawdopodobnie będą miały silny wpływ zarówno na ceny, a zwłaszcza na zabezpieczenia egzotycznych opcji. Gdy w chwili narysowanej epsilon narysujemy deterministyczną (zależną od czasu) zmienność sigma i stopy procentowe rho d i rho f, wiemy, że model (7) zachowuje się jak ruch geometryczny Browna BS, prowadząc w ten sposób do płaskich krzywych zmienności implikowanej dla każdego dojrzałość. Jest to z pewnością wada modelu. Jednak sytuacja poprawia się rozsądnie, jeśli uwzględnimy przyszłe krzywe zmienności. Zmienność implikowana typu "forward" definiowana jest jako parametr zmienności do podłączenia do formuły BS dla opcji uruchamiania z wyprzedzeniem, aby dopasować cenę modelu. 8 9 rf 1, j sigma 1, j sigma 2, j 1 W 9,82 9,23 15,72 2 W 5,14 8,96 15,36 1 M 5,47 8,90 15,21 2 W 3,44 8,26 15,21 3 W 2,84 7,79 14,72 6 M 3,09 7,92 15,05 9,00 3,11 7,96 14,90 1Y 2,79 7,81 15,13 2Y 3,02 7,51 15,44 Tabela 4: Skalibrowane parametry dla każdego terminu zapadalności. 10 p 25 p 35 p ATM 35 c 25 c 10 c 1 W 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 2 W 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 1 M 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 2 M 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 3 M 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,00 0,01 6M -0,02 0,00 0,01 0,00 0,00 0,00 0,01 9M -0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 1Y 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2Y 0,02 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 Tabela 5: Różnice bezwzględne (w punktach procentowych) między Zmienność implikowana modelu i rynku. Opcja uruchamiania z wyprzedzeniem z datą rozpoczęcia do przodu T1 i terminem zapadalności T2 jest opcją, w której cena wykonania jest ustalana jako proporcja alfa ceny natychmiastowej w czasie T 1. W przypadku połączenia, wypłata w momencie T2 wynosi S (T 2) alpha (t 1), którego cena BS w czasie 0 wynosi S 0 P f (0, T 2) Phi ln P d (0, T 1) P f (0, T 2) 1sigma (T alfap d ( 0, T 2) P f (0, T 1) 2 1, T 2, alfa) 2 (T 2 T 1) sigma (t 1, T 2, alfa) T 2 T 1 alfa P d (0, T 2 ) P d (0, T 1) P f (0, T 1) Phi ln P d (0, T 1) P f (0, T 2) 1sigma (T alfap d (0, T 2) P f (0 , T 1) 2 1, T 2, alfa) 2 (T 2 T 1) sigma (t 1, T 2, alfa), T 2 T 1, gdzie sigma (t 1, T 2, alfa) oznacza zmienność interwał T 1, T 2 i alfa w pieniądzu. 9 (12) 10 12 lutego lutego2004 trzy miesiąceod 1W 11,75 10,63 2W 11,60 10,63 1M 11,50 10,63 2M 11,25 10,64 3 M 11,00 10,65 6 M 10,87 10,66 9 M 10,83 10,65 1Y 10,80 10,63 2Y 10,70 10,62 Tabela 6: Porównanie zmienności implikowanej ATM od 12. Luty 2004 i trzymiesięczne zmienne implikowane przez ATM. Na rys. 2 pokazujemy trzymiesięczną powierzchnię zmienności w przód, która jest implikowana przez poprzednią kalibrację. Taką powierzchnią jest wykres funkcji sigma (t1, T2, alfa) dla różnych wartości T2 i alfa, przy T1 ustawionym na 0,25 (trzy miesiące). Aby uzyskać bardziej spójny wykres i lepszą homogeniczność wartości, zmieniliśmy alfę na, używając różnych alfa dla różnych terminów zapadalności. Wartość alfa dla zadeklarowanej dojrzałości T 2 została obliczona jako maleńkość opcji zwykłej wanilii o tym samym czasie do terminu zapadalności T2 T 1. W tabeli 6 porównujemy zmienności ATM od dnia 12 lutego 2004 r. I trzymiesięcznego implikowana zmienność implikowana ATM. Poziom powierzchni, jak wynika z zmienności ATM, zachowuje regularną strukturę termiczną. Kształt powierzchni wygląda również spójnie z pierwotnym. Podobne wykresy można uzyskać, biorąc pod uwagę różne daty początkowego rozruchu T 1. Zapewnia to silne empiryczne wsparcie dla modelu (7), ponieważ jego powierzchnie zmienności do przodu są regularne i realistyczne, ponieważ nie różnią się zbytnio od początkowego. Jako kolejny przykład, na rys. 3 pokazujemy postępujący uśmiech trzymiesięcznej zmienności implikowanej. W tym celu ustawiliśmy T 2 T i rozpatrzyliśmy krzywe zmienności implikowanej w przód dla T1. Ewolucja jest rozsądna i realistyczna także w tym przypadku: kształt uśmiechu zachowuje cechy zwykle obserwowane na rynku. 6 Wycena opcji egzotycznych W tej części krótko opiszemy procedurę empiryczną stosowaną przez wielu praktyków na rynku, aby uwzględnić implikowane zmienne udziały w wycenie instrumentów nienotowanych. Porównamy również ceny niektórych egzotycznych opcji uzyskanych z praktyką rynkową z cenami pochodzącymi z modelu UVUR z N 2. Praktykujący rynku zwykle trzymają się modelu stałej niestabilności BS, aby wycenić opcje egzotyczne, ale przyjmują także pewne zasady kciuki, oparte na argumentach hedgingowych, aby uwzględnić 10 11 Delta Maturity Rysunek 2: Trzymiesięczna zmienna powierzchnia. zmienność powierzchni do wyceny. Aby poradzić sobie z powierzchnią zmienności w kształcie uśmiechu, inwestorzy zabezpieczają swoje pozycje, utrzymując niski poziom ekspozycji nie tylko w klasycznych Grekach, takich jak Delta, Gamma i Vega, ale także w niektórych wyższych greckich krajach, takich jak DVegaDvol (vel Wołga) i DVegaDSpot (vel Vanna). ). Volga mierzy wrażliwość Vega opcji w odniesieniu do zmiany implikowanej zmienności, podczas gdy Vanna mierzy wrażliwość Vega w odniesieniu do zmiany bazowej ceny spot. Wołga może być postrzegana jako wrażliwość w odniesieniu do zmienności implikowanej zmienności, podczas gdy Vanna jako wrażliwość w odniesieniu do korelacji między aktywem bazowym a implikowaną zmiennością. Ustawiając Vega, Vanna i Volga zabezpieczonego portfela równe zero, handlowcy próbują zminimalizować ryzyko modelu wynikające z używania BS, co jest ewidentnie niezgodne z rzeczywistością. Procedurę wyceny opcji egzotycznej przedsiębiorcy można podsumować następująco. Po pierwsze, heshe ceny opcji z formuły BS, podłączając do niej zmienność ATM. Heshe następnie oblicza opcje Vega, Vanna i Volga. Związane z tym ekspozycje można zabezpieczyć poprzez kupowanie i sprzedawanie odpowiedniej liczby opcji "na pieniądze" i "at-the-money". Ponieważ najbardziej płynnymi opcjami dla każdego wygaśnięcia są wywołania ATM (lub kupony) oraz 25 wezwań i transakcji, trzy ekspozycje są ostatecznie zabezpieczane za pomocą kombinacji takich opcji. Po zbudowaniu portfela zabezpieczającego wycenia się go za pomocą odpowiednich zmienności implikowanych na rynku, uzyskując jego prawdziwą wartość rynkową, a następnie przy stałej niestabilności na rynku pieniężnym. Różnica między tymi dwiema wartościami jest dodawana do ceny BS opcji egzotycznej, tym samym wprowadzając, za pomocą powyższej procedury zabezpieczającej, uśmiech rynkowy do wyceny. Ten dodatek jest zwykle ważony przez prawdopodobieństwo przeżycia, gdy bierze się pod uwagę opcję barierową. Dotyczy to praktyki rynkowej. Teraz podajemy dwa przykłady pokazujące 11 12 w 2w 1m 2m 3m 6m 9m 1y 2y Delta Rysunek 3: Implikowana zmienność trzymiesięczna uśmiecha się od różnych czasów wyprzedzenia. że ceny opcji egzotycznych implikowane przez (7) nie odbiegają znacząco od cen podanych w powyższej procedurze. Można to postrzegać jako dalszy argument wspierający model UVUR. Egzotyczne opcje, które rozważamy, to dwie opcje barier: połączenie UpampOut i DownampOut. Wyceny opierają się na danych rynkowych EURUSD na dzień 31 marca 2004 r. (Pokazanych w tabeli 7), przy kursie spot EURUSD ustalonym na Pierwszej cenie dwie opcje z modelem BS, następnie obliczamy powiązane korekty według reguły rynkowej kciuk wyjaśniony powyżej, a na koniec porównaj ceny skorygowane z tymi, które są implikowane przez model UVUR. W opcji bariery dla modelu UVUR ceny są konsekwentnie obliczane zgodnie ze wzorem (10), czyli po prostu stosujemy kombinację formuł opcji barierowych dla BS przez zatykanie, dla każdego scenariusza, całkowitej zmienności odpowiadającej wygaśnięciu roszczenia. 7 Wyniki są przedstawione w Tabeli 8. Pierwszą opcją jest uderzenie kal. EUR uderzane z nokautem. wygasa za 6 miesięcy. Cena BS to USA, a dostosowanie do tej teoretycznej wartości jest dodatnie i równe USA. Model UVUR ocenia tę opcję US. Drugą opcją jest uderzenie i roztrwonione wezwanie EUR. wygasa za 3 miesiące. Cena BS to USA i w tym przypadku korekta rynkowa jest ujemna i równa USA. Cena UVUR jest ponownie bardzo zbliżona do tej sugerowanej przez praktykę rynkową. Model wydaje się zatem zgodny z korektami rynkowymi i cenami, przynajmniej w EURUSD 7. Ta formuła nie jest dokładna, ponieważ rzeczywiste ceny opcji barierowych na poziomie BS zależą od całej struktury terminowej zmienności natychmiastowej, a nie od jej wartości średniej. . Jednak takich cen nie można wyrazić w formie zamkniętej, a nasze przybliżenie okazuje się niezwykle dokładne w większości warunków na rynku walutowym. Kompletny katalog alternatywnych przybliżeń cen opcji barierowych dla BS, w obecności terminowej struktury zmienności, można znaleźć w Rapisardzie (2003). 12 13 sigma AT M sigma RR sigma VWBP d (0, T) P f (0, T) 1 W 13,50 0,00 0,19 W 11,80 0,00 0,19 M 11,95 0,05 0,19 M 11,55 0,15 0,21 M 11,50 0,15 0,21 M 11,30 0,20 0,23 M 11,23 0,23 0,23 Y 11,20 0,25 0,24 Y 11,10 0,20 0,25 Tabela 7: Dane rynkowe dla EURUSD na dzień 31 marca Wartość BS BSAdj Upływ UVUR na wezwanie DownampOut put Tabela 8: Ceny modelu UVUR w porównaniu z BS i BS plus korekty rynkowe. przypadek rynkowy. Jednak w przypadku stromych pochyleń, jak na rynku USDJPY, zgodność między procedurą rynkową a modelem UVUR może znacznie się pogorszyć. W rzeczywistości istnieją szczególne kombinacje uderzeń i poziomów barier, tak że poprawki sugerowane przez te dwie metody mają przeciwne znaki. Można się zastanawiać, czy jest to wskazówka, że ​​model UVUR ma niewłaściwe ceny niektórych pochodnych. Odpowiedź wydaje się jednak ogólnie negatywna. W rzeczywistości, używając modelu Heston (1993) jako punktu odniesienia, ilekroć cena UVUR jest znacząco różna od tej sugerowanej przez podejście rynkowe, cena Heston jest zdecydowanie bardziej zgodna z tą pierwszą niż druga. To kolejny argument przemawiający za modelem UVUR. W następnej części pokazujemy, jak korzystać z modelu UVUR również w zarządzaniu książką opcji. 7 Zabezpieczenie książki z egzotycznymi opcjami Jak zauważyli Brigo, Mercurio i Rapisarda (2004), model (7) może być efektywnie wykorzystany do wyceny całej księgi opcji. Wynika to głównie z możliwości analitycznego wyceny większości instrumentów pochodnych na rynku walutowym. Nasze praktyczne doświadczenie polega na tym, że zajmuje kilka sekund, aby docenić książkę z opcjami, z których połowa egzotyki, w tym czas poświęcony na kalibrację. Jest to niemożliwe do zrealizowania przy dowolnym znanym modelu niestabilności stochastycznej. Konsekwentna wycena jego księgi nie jest jednak jedyną troską kupca opcji. Hedging jest zwykle jeszcze ważniejszym zagadnieniem do rozwiązania. W tej części pokażemy, jak zabezpieczyć, za pomocą modelu (7), zmiany wartości portfela w wyniku zmian zmienności rynkowej. Z teoretycznego punktu widzenia model UVUR charakteryzuje się niekompletnością rynku ze względu na losowość zmienności aktywów. Co do zasady wierzytelność warunkowa może być zabezpieczona za pomocą aktywów bazowych i danej opcji. W praktyce istnieje jednak kilka źródeł przypadkowości, które nie są właściwie uwzględnione w teorii. Właśnie dlatego inwestorzy wolą wdrażać alternatywne strategie hedgingowe, takie jak te oparte na Vega bucketing, co ilustrujemy poniżej. Zauważyliśmy już, że w (7) rozkład Vega jest możliwy dzięki zdolności modelu do dokładnego odwzorowania fundamentalnych wycen zmienności. Wrażliwość danego egzotyki na daną zmienność implikowaną można łatwo uzyskać, stosując następującą procedurę. Jeden przesuwa taką zmienność o stałą wartość sigma, powiedzmy dziesięć punktów bazowych. Następnie dopasowuje się model do nachylonej powierzchni i oblicza cenę egzotyczną, pi NOWOŚĆ, odpowiadającą nowo skalibrowanym parametrom. Oznaczając przez pi INI początkową cenę egzotyki, jej wrażliwość na daną zmienność implikowaną oblicza się następująco: pi NEW pi INI sigma Dla lepszej wrażliwości możemy również obliczyć egzotyczną cenę pod przesunięciem sigma. Jednakże, jeśli sigma jest wystarczająco mała (nawet jeśli nie jest zbyt mała), poprawa wydaje się być nieistotna. W praktyce może być bardziej znaczące zabezpieczenie typowych ruchów rynkowych krzywych zmienności implikowanej. W tym celu rozpoczynamy od trzech podstawowych danych dla każdego terminu zapadalności (ATM i dwa połączenia typu "call" i "volatilities") i obliczmy wrażliwości egzotyczne na: i) równoległe przesunięcie trzech zmienności ii) zmianę w różnica między dwoma 25 skrzydłami iii) wzrost dwóch skrzydeł o stałej zmienności ATM. 8 W ten sposób powinniśmy być w stanie uchwycić efekt ruchu równoległego, skrętu i wypukłości implikowanej powierzchni lotności. Po obliczeniu tych wrażliwości bezpośrednie zabezpieczenie związanej z nimi ekspozycji za pomocą zwykłych opcji waniliowych, a mianowicie wywołań lub rozmów ATM, 25 wywołań i 25 reklam za każde wygaśnięcie. Kolejnym podejściem, które można zastosować do zabezpieczenia, jest klasyczne zabezpieczenie parametrów. W tym przypadku oblicza się wahania egzotycznej ceny instrumentu pochodnego w odniesieniu do parametrów modelu, a mianowicie zmienności terminowej i kursów walut obcych. Zakładamy, że parametr lambda jest stały. 9 Jeśli mamy liczbę n instrumentów zabezpieczających równą liczbie parametrów, możemy rozwiązać układ liniowy Ax b, gdzie b jest wektorem (n 1) z wrażliwością egzotyczną uzyskaną przez nieskończenie małą perturbację n parametrów, i A jest macierzą (nn), której i-ten rząd zawiera zmiany n instrumentów zabezpieczających w odniesieniu do i-tego parametru. Instrumenty, z których korzystamy, to jak poprzednio bankomaty, 25 połączeń i 25 8 Jest to faktycznie równoważne z obliczaniem wrażliwości w odniesieniu do podstawowych kwotowań rynkowych. 9 Można to uzasadnić faktem, że lambda okazuje się głównie dostosowywać się do wypukłości powierzchni lotności, która, jak zmierzono przez motyla, jest zazwyczaj bardzo stabilna. Besides, the effect of a change in convexity is well captured also by the difference between the volatilities in the two scenarios (when N 2). 14 15 puts for each expiry. Since the model is able to perfectly fit the price of these hedging instruments, we have a one to one relation between the sensitivities of the exotic with respect to the model parameters, and its variations with respect to the hedging instruments. More formally, denoting by pi the exotic option s price, by p the model parameters vector and by R the market s data vector, we have: dpi dr pi R pi p p R Exact calibration allows therefore an exact calculation of the matrix p R. We now show how the barrier options of the previous section can be hedged in terms of plain vanillas under both the scenarios and parameter hedging procedures, presenting also a BS based hedging portfolio for both options. Using again the market data as of 31 March 2004, we assume that both exotics have a nominal of 100,000,000 US and calculate the nominal values of the ATM puts, 25 calls and 25 puts that hedge them. Table 9 shows the hedging portfolio suggested by the BS model: the hedging plain vanilla options have the same expiry as the related barrier option and their quantities are chosen so as to zero the overall Vega, Vanna and Volga. In Table 10 we show the hedging quantities calculated according to the UVUR model with the scenario approach. The expiry of the hedging plain vanilla options is once again the same as that of the corresponding barrier options. It is noteworthy that both the sign and order of magnitude of the hedging options are similar to those of the BS model. 25 put 25 call ATM put UpampOut call 79,008,643 54,195. 556,533 DownampOut put -400,852. 348. 163,095 Table 9: Quantities of plain vanilla options to hedge the barrier options according to the BS model. 25 put 25 call ATM put UpampOut call 76,409,972 42,089. 796,515 DownampOut put -338,476. 078. 195,436 Table 10: Quantities of plain vanilla options to hedge the barrier options according to the UVUR model with the scenario approach. In the last two Tables 11 and 12 we show the results for the parametric approach. In this case, the hedging portfolio is made of all the options expiring before or at the exotic s maturity, though the amounts are all negligible but the ones corresponding to the maturity of the barrier option. Also in this case, signs and order of magnitude of the hedging amounts seem to agree with those obtained under the BS model and the UVUR 15 16 model with a scenario approach. This should be considered as a further advantage of the UVUR model, both in terms of market practice and ease of implementation. 25 put 25 call ATM put 1W W M M M M 77,737,033 44,319. 151,192 Table 11: Quantities of plain vanilla options to hedge the six-month UpampOut call according to the UVUR model with the parametric approach. 25 put 25 call ATM put 1W W M M M -334,326. 863. 433,268 Table 12: Quantities of plain vanilla options to hedge the three-month DownampOut put according to the UVUR model with the parametric approach. 8 Conclusions Asset price models where the instantaneous volatility is randomly drawn at (an infinitesimal instant after) the initial time are getting some popularity due to their simplicity and tractability. We mention, for instance, the recent works of Brigo, Mercurio and Rapisarda (2004) and Gatarek (2003), who considered an application to the LIBOR market model. Alternatives where subsequent draws are introduced have been proposed by Alexander, Brintalos and Nogueira (2003) and Mercurio (2002). At the same time, these models encounter some natural criticism because of their very formulation, which seems to make little sense from the historical viewpoint. In this article, however, we try to demonstrate the validity of the above uncertain volatility models, focusing in particular on that proposed by Brigo, Mercurio and Rapisarda (2004). We verify that such a model well behaves when applied to FX market data. Precisely, we show that it leads to a very good fitting of market volatilities, implies realistic forward volatilities, and allows for a fast and consistent valuation and hedge of a typical options book. 16 17 Our tests on the model are indeed encouraging and may help in addressing the above natural criticism. We in fact believe that a model should be judged not only in terms of its assumptions but also in terms of its practical implications. Appendix A: the price of an up-and-out call The price at time t 0 of an up-and-out call (UOC) with barrier level H gt S 0, strike K and maturity T under model (7) is (approximately) given by N lambda i S 0 e c 1c 2 c 3 ln S 0 K Phi c ) ( 1 2c 2 ln S 0 Phi c ) H 1 2c 2 2c2 2c2 i1 ( Ke c 3 ln S 0 K Phi c ) ( 1 ln S 0 Phi c ) H 1 He c 3(beta 1)(ln S 0 H c 1 )(beta 1) 2 c 2 2c2 2c2 ( ln S 0 H Phi c ) ( ) 1 2(beta 1)c 2 ln S 0 K c H Phi (beta 1)c 2 2c2 2c2 Ke c 3beta(ln S 0 H c 1 )beta 2 c 2 Phi ( ln S 0 c ) H 1 2betac 2 Phi 2c2 ( ln S 0 K ) c H betac 2 , 2c2 where 1 denotes the indicator function of the set A, and c 1 c i 1 : Ri d (0, T ) R f i (0, T ) 1V 2 2 i (0, T ) c 2 c i 2 : 1V 2 2 i (0, T ) c 2 c i 3 : Ri d (0, T ) beta beta i : 2 R x i (t, T ) : V 2 i (t, T ) : T T t T t 0 Rd i (t, T ) R f i (t, T ) 1V 2 2 i (t, T )Vi 2 (t, T ) dt r x i (s) ds, sigma 2 i (s) ds T V 4 0 i x , (t, T ) dt For a thorough list of formulas we refer to Rapisarda (2003). 10 (13) References 1 Alexander, C. Brintalos, G. and Nogueira, L. (2003) Short and Long Term Smile Effects: The Binomial Normal Mixture Diffusion Model. ISMA Centre working paper. 10 These formulas, including the above (13), are only approximations, since no closed-form formula is available for barrier option prices under the BS model with time-dependent coefficients. 17 18 2 Black, F. and Scholes, M. (1973) The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy 81, 3 Brigo, D. and Mercurio, F. (2000) A mixed-up smile. Risk September, 4 Brigo, D. Mercurio, F. and Rapisarda, F. (2004) Smile at the uncertainty. Risk 17(5), 5 Castagna, A. and Mercurio, F. (2004) Consistent Pricing of FX Derivatives. Internal report. Banca IMI, Milan. 6 Gatarek, D. (2003) LIBOR market model with stochastic volatility. DeloitteampTouche. Available at: 7 Heston, S. (1993) A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. Review of Financial Studies 6, 8 Hull, J. and White, A. (1987) The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities. Journal of Financial and Quantitative Analysis 3, 9 Mercurio, F. (2002) A multi-stage uncertain-volatility model. Internal report. Banca IMI, Milan. Available at 10 Rapisarda, F. (2003) Pricing barriers on underlyings with timedependent parameters. Banca IMI internal report. Available at 18FX Options and Smile Risk Description Practical issues in FX options and smile risk FX Options and Smile Risk takes readers through the main technicalities of the FX spot and options markets, helping them develop practical trading skills that will enable them to run an FX options book in the real world. Opisuje, w jaki sposób budować powierzchnie zmienności kursów walut w sposób solidny i spójny oraz jak wykorzystać je przy wycenie wanilii i opcji egzotycznych. It enables readers to effectively hedge exposures to volatility surface and other risks related to exotic options. Koncentruje się bardzo na praktycznych aspektach wyceny i zabezpieczenia typowych ryzyk związanych z opcjami walutowymi i zajmuje się doniosłymi kwestiami budowania spójnych macierzy zmienności oraz jednolitego podejścia do wyceny i zabezpieczania. Antonio Castagna (Mediolan, Włochy) jest konsultantem w Iason Ltd, specjalizującym się w wycenach i zarządzaniu ryzykiem dla złożonych produktów. Ma rozległe doświadczenie w transakcjach walutowych i instrumentach pochodnych, a wcześniej był szefem działu Volatility Trading w Banca IMI Milan, gdzie założył bankowe biurko FX Option. Pokaż więcej Szczegóły produktu Format Hardback 330 stron Wymiary 177,8 x 26,54 x 25,4 mm 725.74 g Data publikacji 08 Lut 2017 Wydawca John Wiley and Sons Ltd Impressum John Wiley amp Sons Ltd Publikacja CityCountry Chichester, Wielka Brytania Language English Wydanie oświadczenie 1. Auflage Ilustracje uwaga czarne amp białe ilustracje ISBN10 0470754192 ISBN13 9780470754191 Bestsellery pozycja 390,636 Osoby, które kupiły również to, kupili O Antonio Castagna Antonio Castagna jest obecnie partnerem i współzałożycielem firmy konsultingowej Iason ltd, która zapewnia wsparcie instytucjom finansowym w zakresie projektowania modeli w celu wyceny złożonych instrumentów pochodnych oraz pomiaru szerokiego zakresu ryzyk, w tym kredytów i płynności. Antonio ukończył studia z zakresu finansów na Uniwersytecie LUISS w Rzymie, w 1995 r., Z rozprawą o amerykańskich opcjach i procedurami numerycznymi do ich wyceny. Karierę w bankowości inwestycyjnej rozpoczął w IMI Bank, Luxemborug, jako analityk finansowy w Dziale Kontroli Ryzyka, zanim przeprowadził się do Banca IMI w Mediolanie, najpierw jako animator rynku kapsli i swapów, przed utworzeniem działu opcyjnego i uruchomieniem książka o zwykłej wanilii i egzotycznych opcjach w głównych walutach, a jednocześnie odpowiada za cały handel zmienności kursów walut. Antonio has written a number of papers on credit derivatives, managing of exotic options risks and volatility smiles. Często jest zapraszany na kursy akademickie i podyplomowe. Pokaż więcej 034 Przyszła książka nowej generacji o opcjach FX: Antonio Castagna napisał wiele lat swojego praktycznego doświadczenia na parkiecie Banca IMI. Jest cennym zbiorem kluczowych pomysłów dotyczących powierzchni uśmiechu FX i zabezpieczenia egzotyków pierwszej generacji. Jestem bardzo zadowolony Antonio poświęcił czas na podzielenie się swoimi intuicyjnymi spostrzeżeniami. 034 - Uwe Wystup, Dyrektor Zarządzający MathFinance AG 034Jeśli naprawdę interesuje Cię trudna nauka i technologia tworzenia rynków opcji walutowych, jest to prawdopodobnie najlepsze źródło do nauki - większość zawartości książek wykracza znacznie poza cokolwiek, co można znaleźć w innych monografiach na ten sam temat. Stanowczo rekomendowany.034 - Dariusz Gatarek, Narodowy Bank Polski, Doradca Zarządu 034Antonio Castagna formalizuje zasady i koncepcje, których używał podczas swojej działalności handlowej na rynku walutowym, ważną klasę aktywów, która niekiedy nie zwraca uwagi na jaką zasługuje . Uwagę poświęcono szerokiemu zakresowi tematów, obejmującemu szerokie spektrum między teorią a praktyką, od konwencji kwotowania rynku do powierzchni zmienności, technik zmiany miary, modeli dynamicznych arbitrażów, zabezpieczeń i analizy ryzyka. Spośród wielu technik przedstawionych w celu radzenia sobie ze zmiennością uśmiechu zgodnego z cenami, cieszę się, że pokój otrzymał dynamikę mieszanki, jedno z niewielu możliwych do przejścia metod, w których projekcja Markoviana jest wyraźna i realizowana w dyfuzji mieszaniny i niepewnych modelach zmienności, z uderzające wyniki w korelacji między zmiennością i podstawą w przewidywanej wersji dyfuzyjnej. Ogólnie rzecz biorąc, jest to ciekawa i eklektyczna książka dla czytelników zainteresowanych poznaniem lub poszerzeniem wiedzy na temat zmienności kursów walutowych.034 - Damiano Brigo, dyrektor zarządzający, FitchSolutions, Londonshow więcej Spis treści Przedmowa. Notacja i akronimy. 1 Rynek walutowy. 1.1 Kursy walutowe i kontrakty typu spot. 1.2 Kontrakty bezwarunkowe i kontrakty walutowe. 1.3 Kontrakty opcji walutowych. 1.4 Główne struktury opcji walutowych. 2 Modele wyceny opcji walutowych. 2.1 Zasady teorii wyceny opcji. 2.2 Model czarnych schodów. 2.3 Model Hestona. 2.4 Model SABR. 2.5 Podejście oparte na mieszance. 2.6 Kilka uwag dotyczących wyboru modelu. 3 Dynamiczne zabezpieczanie i handel zmiennościami. 3.1 Uwagi wstępne. 3.2 Ogólne ramy. 3.3 Zabezpieczenia o stałej zmienności implikowanej. 3.4 Hedging with an updating implied volatility. 3.5 Hedging Vega. 3.6 Hedging Delta, Vega, Vanna i Volga. 3.7 Uśmiech zmienności i jego fenomenologia. 3.8 Lokalne ekspozycje na uśmiech zmienności. 3.9 Zabezpieczenie scenariusza i jego związek z zabezpieczeniem Vanna-Volga. 4 Powierzchnia zmienności. 4.1 Ogólne definicje. 4.2 Kryteria dla wydajnej i wygodnej reprezentacji powierzchni zmienności. 4.3 Powszechnie przyjęte podejście do budowania powierzchni zmienności. 4.4 Interpolacja uśmiechu pomiędzy uderzeniami: podejście Vanna-Volga. 4.5 Niektóre cechy podejścia Vanna-Volga. 4.6 Alternatywna charakterystyka podejścia Vanna-Volga. 4.7 Interpretacja uśmiechu między wygaśnięciami: przewidywana struktura terminów zmienności. 4.8 Dopuszczalne powierzchnie zmienności. 4.9 Uwzględnienie motyla rynku. 4.10 Budowanie macierzy zmienności w praktyce. 5 Plain Vanilla Options. 5.1 Wycena zwykłych opcji waniliowych. 5.2 Narzędzia do tworzenia rynku. 5.3 Spready Bidask dla prostych opcji wanilii. 5.4 Czasy odcięcia i spready. 5.5 Opcje cyfrowe. 5.6 American plain vanilla options. 6 Opcje bariery. 6.1 Taksonomia opcji barier. 6.2 Niektóre powiązania cen opcji barierowych. 6.3 Ceny opcji barierowych w gospodarce BS. 6.4 Formuły cen dla opcji barierowych. 6.5 Opcje One-touch (rabat) i bezdotykowe. 6.6 Opcje podwójnej bariery. 6.7 Podwójne dotknięcie i opcje podwójnego dotknięcia. 6.8 Prawdopodobieństwo trafienia w barierę. 6.9 Obliczenia greckie. 6.10 Opcje barier cenowych w innych ustawieniach modelu. 6.11 Bariery cenowe z dostawą niestandardową. 6.12. Rynkowe podejście do opcji barier cenowych. 6.13 Spreadówki Bidask. 6.14 Częstotliwość monitorowania. 7 Other Exotic Options. 7.1 Introduction. 7.2 Opcje dotyczące barier przedawnienia. 7.3 Opcje bariery okiennej. 7.4 Najpierw dostępne i opcjonalne bariery. 7.5 Opcje Auto-quanto. 7.6 Opcje uruchamiania do przodu. 7.7 Wymiana wariancji. 7.8 Opcje złożone, azjatyckie i opcje ważności. 8 Narzędzia i analiza zarządzania ryzykiem. 8.1 Wprowadzenie. 8.2 Implementacja modelu LMUV. 8.3 Narzędzia do monitorowania ryzyka. 8.4 Analiza ryzyka prostych opcji wanilii. 8.5 Analiza ryzyka opcji cyfrowych. 9 Korelacja i opcje walutowe. 9.1 Uwagi wstępne. 9.2 Korelacja w ustawieniu BS. 9.3 Kontrakty w zależności od kilku kursów kasowych. 9.4 Radzenie sobie z korelacją i zmiennością uśmiechu. 9.5 Łączenie uśmiechów lotności. Referencje. Index. show moreConsistent Pricing and Hedging of an FX Options Book Mercurio Fabio Product and Business Development and FX Options Trading, Banca IMI In the foreign exchange (FX) options market away-from-the-money options are quite actively traded, and quotes for the same type of instruments are available everyday with very narrow spreads (at least for the main currencies). This makes it possibleto devise a procedure for extrapolating the implied volatilities of non-quoted options, providing us with reliable data to which to calibrate our favorite model. In this article, we test the goodness of the Brigo, Mercurio and Rapisarda (2004) model as far as some fundamental practical implications are concerned. This model, which is based on a geometric Brownian motion with time-dependent coefficients that are not known initially and whose value is randomly drawn at an infinitesimal future time, can accommodate very general volatility surfaces and, in case of the FX options market, can lead to a perfect fit to the main volatility quotes. We first show the fitting capability of the model with an example from real market data. We then support the goodness of our calibration by providing a diagnostic on the forward volatilities implied by the model. We also compare the model prices of some exotic options with the corresponding ones given by a market practice. Finally, we show how to derive bucketed sensitivities to volatility and how to hedge accordingly a typical options book. In the foreign exchange (FX) options market away-from-the-money options are quite actively traded, and quotes for the same type of instruments are available everyday with very narrow spreads (at least for the main currencies). This makes it possibleto devise a procedure for extrapolating the implied volatilities of non-quoted options, providing us with reliable data to which to calibrate our favorite model. ltbrgt In this article, we test the goodness of the Brigo, Mercurio and Rapisarda (2004) model as far as some fundamental practical implications are concerned. This model, which is based on a geometric Brownian motion with time-dependent coefficients that are not known initially and whose value is randomly drawn at an infinitesimal future time, can accommodate very general volatility surfaces and, in case of the FX options market, can lead to a perfect fit to the main volatility quotes. ltbrgt We first show the fitting capability of the model with an example from real market data. We then support the goodness of our calibration by providing a diagnostic on the forward volatilities implied by the model. We also compare the model prices of some exotic options with the corresponding ones given by a market practice. Finally, we show how to derive bucketed sensitivities to volatility and how to hedge accordingly a typical options book. ltbrgt The Kyoto University economic review The Kyoto University economic review 74(1), 65-83, 2005 Graduate School of Economics, Kyoto University